今天和大家一起聊一聊数学运算中的“坑”——常见易错点。
一、行程问题——“车过桥”与中途休息
例题1、某列车通过1200米长的隧道要用时33秒，与另一列长150米、速度为50米/秒的列车错车而过需要3秒，则该列车减速一半后，通过一座600米的桥梁所需的时间为?
A 18秒
B 20秒
C 30秒
D 36秒
【基础解析】
根据题干可知，两列火车错车而过，相当于相遇问题，所以经过的路程为两个火车车长之和，速度为两车速度之和，设列车速度为Vm/s，车身长为L，因为两车错车而过需要3秒，所以(L+150)/3=(V+50)，L=3V。列车经过1200米隧道需要33秒，总路程长为火车长与1200之和，所以L+1200=33V，已推出L=3V，即1200=30V，V=40m/s。列车速度减半，则速度为20m/s，经过桥梁，总路程为车身长和桥梁长S=600+3×40=720m,t=S/V=720/20=36秒。故本题答案为D。
【易错/陷阱分析】
错车而过的路程长是包括两列火车车身长度之和，过桥过隧道均不能忽视车身长度。
例题2、老李每天早晨9点准时出门散步锻炼身体。他以3千米每小时的速度步行6千米，其中每走20分钟休息5分钟。那么老李锻炼到( )回家。
A 11点20分
B 11点25分
C 11点30分
D 11点45分
【基础解析】
根据题意，老李速度为3千米每小时，路程6千米，即不休息的话，老李走完6千米需要6÷3=2小时。每20分钟休息一次，即一个小时休息60÷20=3次，因为最后一次走完不涉及休息时间，即120分钟的路程中间需要休息5次，休息总时间=5×5=25分钟。所以老李锻炼道家的时间为9点+2小时25分钟=11点25分。故本题答案为B。
【易错/陷阱分析】
每走20分钟休息5分钟，从出门锻炼到回家，则最后一次走到家里不涉及休息时间。行程问题路途中的休息时间不能忽略，注意是否需要计算入总的行驶时间。
二、概率问题——反向计算
例题3、正值毕业季，306宿舍有A、B、C、D四位男同学，他们准备找班主任宋老师合影，若要求宋老师坐正中间，A、B两位同学不能挨着坐，那么总共有多少种坐法?
A 8种
B 12种
C 16种
D 24种
【基础解析】
解法一：根据题干可知，包括老师一共5人合影，老师要在中间，则老师左边和右边各两个人。A、B不能挨着坐，即AB不相邻，则A、B分别在老师左右两边， C、D也分别在老师的左右两边。先让A从剩下的4个位置中选择1个，有C(4,1)=4种坐法，那么B只能从不挨着A的2个位置中选一个，有C(2,1)=2种坐法，剩下的CD两人就是从剩下的2个位置中进行选择，两人进行位置排列有A(2,2)=2种坐法，总共有4×2×2=16种坐法。故本题答案为C。
解法二：反向考虑。宋老师坐正中间，ABCD四位同学总坐法有A(4,4)=24种，若AB两位同学挨着坐，则可捆绑后选择宋老师左边或右边的两个位置，有C(2,1)=2种，两人内部位置排列有A(2,2)=2种，剩余宋老师的另一边则是CD两人排列有A(2,2)=2种坐法，故AB同学挨着坐的情况共有2×2×2=8种。则不挨着坐的情况有24-8=16种。故本题答案为C。
【易错/陷阱分析】
概率问题可从正面求解，也可从反面求解(一般当正面难以求解时)，但反面求解应注意考虑全面或不多算。
三、经济利润问题——利润率
例题4、一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为：
A 12%
B 13%
C 14%
D 15%
【基础解题】
设该商品上月的进价为100，商品的售价为x，则该商品本月的进价为95，可得(x-95)/95-(x-100)/100=0.06，即x/95-x/100=0.06，解得x=114，则超市上月的利润率为(114-100)/100=14%。故本题答案为C。
【易错/陷阱分析】
一般而言，数学运算中的利润率=利润/成本，资料分析中的利润率=利润/收入。
四、周期日期问题——间隔周期、日期计算
例题5、甲、乙、丙三人均每隔一定时间去一次健身房锻炼。甲每隔2天去一次，乙每隔4天去一次，丙每7天去一次。4月10日三人相遇，下一次相遇是哪天?
A 5月28日
B 6月5日
C 7月24日
D 7月25日
【基础解析】
根据题干可知，甲每隔2天去一次健身房，则甲去健身房的周期为2+1=3天，乙每隔4天去一次健身房，则乙去健身房的周期为4+1=5天，丙每7天去一次健身房，则丙去健身房的周期为7天，所以甲、乙、丙三人同时去健身房的周期为3×5×7=105天。4月10日三人相遇，下一次三人相遇在健身房相遇是在105天之后，此时4月还剩20天，5月有31天，6月30天，7月还剩105-81=24天，即7月24日三人再次相遇。故本题答案为C。
【易错/陷阱分析】
每隔n天去一次，周期为n+1天;每n天去一次，周期为n天。
五、浓度问题——十字交叉法的运用
例题6、现有浓度为12%和24%的盐水各若干克，将其混合后加入50克水，配制成了浓度为18%的盐水600克，则原12%和24%的盐水质量之比是：
A 6:5
B 1:1
C 5:6
D 4:7
【基础解析】
解析一：设浓度为12%的盐水有x克，浓度为24%的盐水有y克，混合后加入50克水得到浓度为18%的盐水600克，则溶液总量600=x+y+50，混合前后含盐量为12%x+24%y=18%×600，联立两式可解得x=200、y=350，则原12%和24%的盐水质量之比为200:350=4:7。故本题答案为D。
解析二：根据题干可知，混合得到浓度为18%的盐水600克，则加水前，浓度为12%和24%的盐水混合后得到的溶液的浓度为600×18%/(600-50)=108/550，则根据十字交叉法可得原12%和24%的盐水质量之比=(24%-108/550)：(108/550-12%)=4:7。故本题答案为D。
【易错/陷阱分析】
溶液混合前后溶质的质量保持不变，溶液的质量和浓度发生变化。本题中两溶液混合后加水50克才得到浓度18%的盐水，在运用十字交叉法时不能直接计算。
以上就是数学运算中常见的易错点，另附上一些数学中的基本公式，预祝各位小伙伴们旗开得胜。
1、工程问题：
工作量=工作效率×工作时间、总工作量=各分工作量之和
2、行程问题：
路程=速度×时间
相遇追及问题公式：相遇距离=(V1+V2)×相遇时间、追及距离=(V1-V2)×追及时间
流水行船问题公式：顺水=船速+水速、逆水=船速-水速
往返相遇问题公式：两岸型两次相遇 S=3S1-S2、单岸型两次相遇 S=(3S1+S2)/2(S1为第一次相遇距离，S2为第二次相遇距离)
3、经济利润问题：
利润=售价-成本、利润率=利润/成本、总利润=单利润×销量=总售价-总成本
4、排列组合：
排列和组合的计算公式：A(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-m+1);C(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-m+1)/m!;C(n,m)=C(n,n-m)。
分类原理和分步原理的区别和运用：分类用加法，分步用乘法。
排列组合的常见方法：捆绑法、插空法、隔板法、错位排列、圆桌排列。
5、容斥原理：
两集合容斥公式 A+B-A∩B=全部-都不
三集合容斥公式 A+B+C-(A∩B+B∩C+A∩C)+A∩B∩C=全部-都不
三集合变形公式 A+B+C-(各个只同时属于两个集合的值的和)-2×A∩B∩C=全部-都不
6、浓度问题：
溶液=溶质+溶剂、浓度=溶质/溶液
7、牛吃草问题：
y=(N-x)×t，其中y代表草原量，N代表牛的头数，x代表草生长的速度，t代表牛吃完这片草所用的时间。
8、基础数学公式
(1)常考数列的求和
自然数列：1+2+3+……+n=n*(n+1)/2。[自然数列中，数的个数=(大数-小数)+1]
公差为d的等差数列：a[n]=a[1]+(n-1)d;S[n]=(a[1]+a[n])/2×n;S[n]=na[1]+n(n-1)/2×d。
(2)2、3、5的倍数的数字特征
2的倍数=该数能被2整除：数的最末一位数字是一个偶数;
5的倍数=该数能被5整除：数的最末一位数字是0或5;
3(9)的倍数=该数能被3(9)整除：数的各个位上的数字之和是3(9)的倍数。
(3)同余定理
差同减差(选除数的最小公倍数，然后“减差”)
和同加和(选除数的最小公倍数，然后“加和”)
余同取余(选除数的最小公倍数，然后“加余”)
(4)倍数特性
若a:b=m:n(m、n互质)，则a是m的倍数，b是n的倍数，a+b(a-b)是m+n(m-n)的倍数。
