本章内容主要包括 n 阶行列式的概念、行列式的性质、克莱姆法则。
第一节 n 阶行列式的概念
一、二阶行列式
二阶行列式;二元线性方程组。
二、三阶行列式
三阶行列式;对角线法则;三阶行列式的计算。
三、n 阶行列式
n 阶行列式的定义;对角行列式;上(下)三角形行列式;范德蒙德行列式;余子式;代数余子式;行列式展开式。
第二节 行列式的性质
一、行列式的性质
行列式的性质;行列式的转置。
二、行列式的计算
三角行列式的值;化一般行列式为三角行列式;行列式按行(列)展开。
三、高阶行列式的计算
降阶法;三角化方法;升阶法;建立递推关系式法;数学归纳法。
第三节 克莱姆法则
一、克莱姆法则
克莱姆法则;利用克莱姆法则求解线性方程组。
二、克莱姆法则与线性方程组
齐次线性方程组的解与系数行列式的关系;非齐次线性方程组的解与系数行列式的关系。
矩阵
主要测查应试者对矩阵的基本理论的掌握程度。
要求应试者理解矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上(下)三角矩阵、对称矩阵与反对称矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、矩阵初等变换、分块矩阵、矩阵的秩等概念，掌握矩阵的性质、矩阵的运算、逆矩阵的性质、矩阵可逆的充分必要条件、方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质，用伴随矩阵求逆矩阵的方法、初等矩阵的性质和矩阵等价性、用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法、分块矩阵的运算法则等基本理论和基本方法。
本章内容主要包括矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的分块、矩阵的初等变换、矩阵的秩。
第一节 矩阵的概念
一、矩阵的定义
元素;mn 矩阵;矩阵的相等。
二、特殊矩阵
列向量(矩阵);行向量(矩阵);同型矩阵;零矩阵;方阵;幂矩阵;对角矩阵;数量矩阵;单位矩阵;三角矩阵;伴随矩阵。
第二节 矩阵的运算
一、矩阵的线性运算
矩阵的加减法;矩阵的数乘;矩阵的线性运算。
二、矩阵的乘法
矩阵的乘法;矩阵的乘法运算;可交换矩阵。
三、方阵的行列式
方阵的行列式;方阵的行列式的运算。
四、矩阵的幂与多项式
矩阵的幂;矩阵的多项式。
五、矩阵的转置
转置矩阵;矩阵转置的运算;对称矩阵;反对称矩阵。
六、矩阵的逆
可逆矩阵;逆矩阵的性质;利用伴随矩阵求逆矩阵;利用逆矩阵解矩阵方程。
第三节 矩阵的分块
一、分块矩阵的概念
分块矩阵;分块三角矩阵;分块对角矩阵。
二、分块矩阵的运算
分块矩阵的加法;分块矩阵的数乘;分块矩阵的乘法;分块矩阵的转置;分块矩阵的逆。
三、线性方程组的矩阵表示
系数矩阵;增广矩阵;矩阵方程。
第四节 矩阵的初等变换
一、初等行变换与初等列变换
对调行(列)变换;倍乘行(列)变换;倍加行(列)变换;阶梯矩阵;最简阶梯矩阵。
二、等价矩阵
矩阵的等价;矩阵的标准形。
三、初等矩阵
对调矩阵;倍乘矩阵;倍加矩阵;初等变换与对应的初等矩阵的关系。
四、求逆矩阵的初等变换法
矩阵可逆的充要条件;矩阵等价的充要条件;求逆矩阵的初等变换法;解矩阵方程的初等变换法。
第五节 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念及简单性质
k 阶子式;矩阵的秩;矩阵秩的简单性质。
二、线性方程组解的判别准则
线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解的充要条件;齐次线性方程组有非零解的充要条件;初等变换求解线性方程组;矩阵方程有解的充要条件。
三、满秩矩阵
行满秩矩阵;列满秩矩阵;满秩矩阵;降秩矩阵;满秩矩阵的充分条件。
