无穷级数
主要测查应试者对级数理论的掌握程度。
要求应试者理解常数项级数、函数项级数、幂级数、级数的收敛与发散、绝对收敛与条件收敛、函数项级数的收敛域与和函数、傅里叶级数、函数项级数的一致收敛性等概念;掌握正项级数及其审敛法、交错级数及其审敛法，一致收敛级数的性质、函数项级数的收敛域、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域、幂级数在其收敛区间内的基本性质、幂级数的和函数、函数展开成幂级数、函数展开成傅里叶级数等基本理论和基本方法;了解函数展开成幂级数的应用。
本章内容主要包括数项级数、幂级数、傅里叶级数。
第一节 数项级数
一、数项级数
数项级数;部分和;数项级数的收敛与发散;几何级数与 P 级数;收敛级数的基本性质;柯西收敛原理。
二、正项级数审敛法
比较审敛法;比较审敛法的极限形式;根值审敛法;比值审敛法。
三、任意项级数
交错级数;莱布尼兹定理;绝对收敛和条件收敛;绝对收敛级数的性质。
第二节 幂级数
一、函数项级数
函数项级数;函数项级数的收敛与发散;函数项级数的收敛域;函数项级数的一致收敛性;一致收敛级数的基本性质。
二、幂级数
幂级数的收敛、发散与绝对收敛;幂级数的性质;阿贝尔定理;幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域;幂级数的和函数。
三、函数展开为幂级数
基本初等函数的麦克劳林展开式;用间接法将初等函数展开为幂级数;近似计算;微分方程的幂级数解法;欧拉公式。
第三节 傅里叶级数
一、傅里叶级数的概念
三角级数;三角函数系的正交性;周期为 2 π 的函数的傅里叶级数;正弦级数与余弦级数。
二、一般周期函数的傅里叶级数
函数的周期延拓;周期为 2 l 的函数的傅里叶级数。
常微分方程
主要测查应试者对常微分方程理论的掌握程度。要求应试者理解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念;掌握可变量分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，齐次方程、伯努利方程和全微分方程的解法，线性微分方程解的性质及解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、欧拉(Euler)方程的解法等基本理论与基本方法。
本章内容主要包括微分方程的基本概念、一阶微分方程、高阶微分方程。
第一节 微分方程的基本概念
一、微分方程
微分方程;常微分方程;偏微分方程;微分方程的阶。
二、微分方程的解
通解;初始条件;初值问题;特解;积分曲线。
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的方程及其求解
可分离变量方程;可分离变量方程的对称形式;可分离变量方程的求解。
二、齐次方程
齐次方程;齐次方程的求解;可化为齐次方程的方程。
三、一阶线性方程
一阶线性微分方程;一阶齐次线性微分方程;一阶非齐次线性方程;常数变易法;非齐次线性方程的通解结构;积分因子;伯努利方程;全微分方程。
第三节 高阶微分方程
一、可降阶的高阶微分方程
型微分方程; 型微分方程; 型微分方程。
二、高阶线性微分方程
二阶线性微分方程解的结构;叠加原理;二阶常系数齐次线性微分方程;二阶常系数非
齐次线性微分方程;欧拉方程;常微分方程的简单应用。
